OpenModelicaを用いたPMSM駆動シミュレーション

目次[非表示]

• 1.前書き
• 2.OpenModelica
  • 2.1.概要
  • 2.2.OMEdit
• 3.PMSM駆動システムモデル
  • 3.1.空間ベクトル理論
  • 3.2.PMSMの数理モデル
  • 3.3.PMSMの制御システム
• 4.OMEditのPMSM駆動モデルの構築
• 5.シミュレーション
• 6.まとめ
• 7.参考

前書き

この記事では誰でも無料で使用可能なオープンソースのOpenModelica OMEditを用いた、永久磁石同期モータ（Permanent Magnet Synchronous Motor; PMSM）の電流制御シミュレーションを紹介する。OMEditを用いることで、GUI上で複数の機能ブロックを組み合わせるだけで複雑なシミュレーションを行うことが可能である。PMSMの電流制御では、ベクトル制御による電流フィードバックを実現する。最初にOMEdit上での設定を示した後に、PMSMのベクトル制御による電流フィードバックの理論の概要を説明する。詳細は参考に示したサイトを見てほしい。OMEditでモデルを構成する上で注意が必要なブロックを紹介した後に、シミュレーション結果を示し、モデルの妥当性を確認する。

OpenModelica

OpenModelicaの詳細は他のサイトに任せ、この記事では簡単な説明のみを行う。

概要

OpenModelicaはModelica言語を用いた、オープンソース（OSMC Public License, EPL, GPL）の複雑な動的システムのシミュレーション・モデル作成・最適化・解析の環境であり、誰でも無料で様々な解析をすることができる。OpenModelicaは数学モデルシステム、力学、熱力学、電磁気、電気回路などの幅広い分野のシミュレーションを複合的に行うことが可能である。OpenModelicaの公式ページと、インストール方法について説明しているページを下記に記載するので、参考にしてほしい。

• OpenModelicaの公式ページ
• XSimによるOpenModelicaのインストール方法紹介

OMEdit

OpenModelicaのアプリケーションの1つであるOMEditは、matlab simlinkやscilab xcosのように、GUIを用いて視覚的に機能ブロックを組み合わせることで、シミュレーションモデルを構築できる。この記事ではOMEditを用いて、標準Modelicaライブラリ（Modelica Standard Library; MSL）のみを使うことでPMSMのシミュレーションモデルを構築して、その詳細を説明する。

OMEditで構築したシミュレーションモデルの図と各パラメータの設定値の詳細は下記のPDFに示している。

• シミュレーションモデルとパラメータの設定値（PDF）

PMSM駆動システムモデル

この記事では、空間ベクトル理論を用いて、永久磁石同期モータ（Permanent Magnet Synchronous Motor; PMSM）をインバータによって駆動するシステムを検討する。モータの負荷は定速度負荷とする。インバータは PWM Controller から受け取ったゲート信号$s_u$、$s_v$、$s_w$にしたがって、必要な電圧を出力するように動作する。インバータの入力は直流電圧$V_{DC}$であり、出力は三相電圧$v_u$、$v_v$、$v_w$である。PMSMの前段には電流センサが設置させており、三相電流$i_u$、$i_v$、$i_w$を検出する。PMSMの出力トルクは$T_m$、機械角速度は${\omega }_m$とする。PMSMの機械角${\theta }_m$は位置センサにより検出される。

制御システムは電流・速度・トルク指令値（Reference）などを入力として、検出した$i_u$、$i_v$、$i_w$と${\theta }_m$を用いて、PMSMを指令値に追従するように制御する。モータコントローラはPMSMを指令値に追従させるために必要なインバータ出力電圧指令値$v_u^{\ast }$、$v_v^{\ast }$、$v_w^{\ast }$を出力し、PWMコントローラはこれらの指令値を実現するインバータのゲート信号$s_u$、$s_v$、$s_w$を三角波比較法などを用いて生成する。

空間ベクトル理論

PMSMの制御ではゼロ相を制御しないため、クラーク変換を用いて三相電圧・電流をゼロ相とそれ以外の$\alpha$、$\beta$相に分離する。クラーク変換の変換行列${}^{0\alpha \beta }{\mathit{C}}_{uvw}$は次式で定義される。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {}^{0\alpha \beta }{\mathit{C}}_{uvw}=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \cos \left(0\right)& \cos \left(\frac{2}{3}\pi \right)& \cos (-\frac{2}{3}\pi )\\ \sin \left(0\right)& \sin \left(\frac{2}{3}\pi \right)& \sin (-\frac{2}{3}\pi )\end{array}\right]=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\end{array}$$

クラーク逆変換${}^{uvw}{\mathit{C}}_{0\alpha \beta }$は${}^{0\alpha \beta }{\mathit{C}}_{uvw}$を転置することで得られる。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {}^{uvw}{\mathit{C}}_{0\alpha \beta }{=}^{0\alpha \beta }{\mathit{C}}_{uvw}^{-1}{=}^{0\alpha \beta }{\mathit{C}}_{uvw}^T\end{array}$$

クラーク変換により得られるゼロ相、$\alpha$相、$\beta$相の電圧・電流をそれぞれ$v_0$・$i_0$、$v_{\alpha }$・$i_{\alpha }$、$v_{\beta }$・$i_{\beta }$とする。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \left[\begin{array}{c}{v}_0\\ v_{\alpha }\\ v_{\beta }\end{array}\right]{=}^{0\alpha \beta }{\mathit{C}}_{uvw}\left[\begin{array}{c}{v}_u\\ v_v\\ v_w\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{i}_0\\ i_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]{=}^{0\alpha \beta }{\mathit{C}}_{uvw}\left[\begin{array}{c}{i}_u\\ i_v\\ i_w\end{array}\right]\end{array}$$

次に、得られた$v_{\alpha }$、$v_{\beta }$、$i_{\alpha }$、$i_{\beta }$を回転子座標系に回転座標変換（dq変換）する。PMSMの極対数を$p_m$、電気角を${\theta }_e$とすると、dq変換行列は次式で与えられる。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\theta }_e& =p_m{\theta }_m\text{(5)}& {}^{dq}{\mathit{C}}_{\alpha \beta }& =\left[\begin{array}{cc}\cos {\theta }_e& \sin {\theta }_e\\ -\sin {\theta }_e& \cos {\theta }_e\end{array}\right]\text{(6)}& {}^{\alpha \beta }{\mathit{C}}_{dq}& {=}^{dq}{\mathit{C}}_{\alpha \beta }^{-1}{=}^{dq}{\mathit{C}}_{\alpha \beta }^T\end{array}$$

逆dq変換行列${}^{\alpha \beta }{\mathit{C}}_{dq}$は$\text{(5)}$に${\theta }_e=-{\theta }_e$を代入したものであり、dq変換の逆回転の変換である。よってdq座標系での$\alpha \beta$電圧・電流$v_d$、$v_q$、$i_d$、$i_q$は次式で表される。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \left[\begin{array}{c}{v}_d\\ v_q\end{array}\right]{=}^{dq}{\mathit{C}}_{\alpha \beta }\left[\begin{array}{c}{v}_{\alpha }\\ v_{\beta }\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{i}_d\\ i_q\end{array}\right]{=}^{dq}{\mathit{C}}_{\alpha \beta }\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]\end{array}$$

PMSMの数理モデル

uvw座標系において1相当たりの配線抵抗を$R_{uvw}$、永久磁石による磁束の振幅を${\mathrm{\Phi }}_{uvw}$、電気角速度を${\omega }_e$とすると、PMSMの数理モデルは次式で表される。

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \left[\begin{array}{c}{v}_u\\ v_v\\ v_w\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{ccc}{R}_{uvw}& 0& 0\\ 0& R_{uvw}& 0\\ 0& 0& R_{uvw}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_u\\ i_v\\ i_w\end{array}\right]+\mathit{L}\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{i}_u\\ i_v\\ i_w\end{array}\right]+{\omega }_e\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Phi }}_{uvw}\sin \left({\omega }_{e}t\right)\\ {\mathrm{\Phi }}_{uvw}\sin ({\omega }_{e}t-\frac{2}{3}\pi )\\ {\mathrm{\Phi }}_{uvw}\sin ({\omega }_{e}t+\frac{2}{3}\pi )\end{array}\right]\text{(9)}& {\omega }_e& =\frac{d{\theta }_e}{dt}\end{array}$$

ここで$\mathit{L}$はPMSMのインダクタンス行列であり、PMSMの数理モデルの電流微分の係数行列である。上式をdq座標系で表した等価な方程式は次式で表される。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \left[\begin{array}{c}{v}_d\\ v_q\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{cc}{R}_{uvw}+L_d\frac{d}{dt}& -{\omega }_e{L}_q\\ {\omega }_e{L}_d& R_{uvw}+L_q\frac{d}{dt}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_d\\ i_q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ {\omega }_e{\mathrm{\Phi }}_{dq}\end{array}\right]\text{(11)}& {\mathrm{\Phi }}_{dq}& =\sqrt{\frac{3}{2}}{\mathrm{\Phi }}_{uvw}\end{array}$$

ここで$L_d$、$L_q$はd軸・q軸インダクタンスである。dq座標系での配線抵抗はuvw座標系と同じ値$R_{uvw}$となるのに対して、dq座標系での永久磁石の磁束${\mathrm{\Phi }}_{dq}$はuvw座標系磁束${\mathrm{\Phi }}_{uvw}$の$\sqrt{3/2}$となることに注意が必要である。

PMSMの制御システム

ここでは古典的な比例積分（PI）制御を適用した電流フィードバック制御をシミュレーションする。PMSMの電流フィードバック制御では、$\text{(10)}$の干渉項と永久磁石による誘起電圧項をフィードフォワードすることによって補償する。上図は制御ブロック図であり、$i_d^{\ast }$、$i_q^{\ast }$、$v_d^{\ast }$、$v_q^{\ast }$は$i_d$、$i_q$、$v_d$、$v_q$の司令値である。上図の$i_d$、$i_q$、${\omega }_e$はセンサなどにより検出する。司令値$v_d^{\ast }$、$v_q^{\ast }$は逆dq変換と逆クラーク変換により、$v_u^{\ast }$、$v_v^{\ast }$、$v_w^{\ast }$に変換して PWM Controller に転送する。

OMEditのPMSM駆動モデルの構築

前述したPMSMドライブ回路とPMSMの制御システムのモデルをOMEditで作成すればよい。ここでは、構築したPMSMのOMEditシミュレーションモデルで注意が必要な要素のみの簡潔な説明を示す（詳細は Modelica Documentation）。 ToSpacePhasor ブロックを用いてクラーク変換を行う場合、$\text{(1)}$より、 ToSpacePhasor ブロックの出力値に$\sqrt{3/2}$を乗ずる必要がある。同様に FromSpacePhasor ブロックを使って逆クラーク変換を行うには、ゼロシーケンス値をゼロ相の$1/2$として、ブロックの出力値に$\sqrt{2/3}$を乗ずる。

.Modelica.Electrical.Analog.Ideal.IdealOpeningSwitch
	理想的な開閉スイッチであり、そのスイッチング動作は，入力 boolean 信号により制御される。 boolean 信号が True のときスイッチは OFF となる。
.Modelica.Electrical.Polyphase.Basic.PlugToPin_p
	plug_p （多相回路）の k ピンを pin_p （単相回路）に接続し、plug_p の他のピンは未接続（開放）にする。
.Modelica.Electrical.Machines.SpacePhasors.Blocks.ToSpacePhasor
	多相電圧または電流をスペースフェーザおよびゼロシーケンス値に変換する。三相の場合には、三相入力を$[x_u,x_v,x_w]$、スペースフェーザを$[x_{\alpha },x_{\beta }]$、ゼロシーケンス値を$x_0$とすると、下式の変換を行う。 $$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{x}_{\alpha }\\ x_{\beta }\end{array}\right]& =\frac{2}{3}\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(0\right)& \cos \left(\frac{2}{3}\pi \right)& \cos (-\frac{2}{3}\pi )\\ \sin \left(0\right)& \sin \left(\frac{2}{3}\pi \right)& \sin (-\frac{2}{3}\pi )\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_u\\ x_v\\ x_w\end{array}\right]\\ x_0& =\frac{x_u+x_v+x_w}{3}\end{array}$$
.Modelica.Electrical.Machines.SpacePhasors.Blocks.FromSpacePhasor
	スペースフェーザおよびゼロシーケンス値から多相電圧または電流へ変換する。三相の場合には、三相出力を$[x_u,x_v,x_w]$、スペースフェーザを$[x_{\alpha },x_{\beta }]$、ゼロシーケンス値を$x_0$とすると、下式の変換を行う。 $$\left[\begin{array}{c}{x}_u\\ x_v\\ x_w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ x_0\\ x_0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\cos \left(0\right)& -\sin \left(0\right)\\ \cos (-\frac{2}{3}\pi )& -\sin (-\frac{2}{3}\pi )\\ \cos \left(\frac{2}{3}\pi \right)& -\sin \left(\frac{2}{3}\pi \right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{\alpha }\\ x_{\beta }\end{array}\right]$$
.Modelica.Electrical.Machines.SpacePhasors.Blocks.Rotator
	スペースフェーザ（電圧または電流）を数学的に負方向（反時計回り）に、入力された角度だけ回転させる。

シミュレーション

OMEditのシミュレーションの刻み幅は$2\mu \mathrm{s}$とした。シミュレーション結果を下記に示す。上から順にdq軸電流$i_d$、$i_q$とその司令値$i_d^{\ast }$、$i_q^{\ast }$、uvw相電流$i_u$、$i_v$、$i_w$、uvw相電圧$v_u$、$v_v$、$v_w$、三角波比較での三角波$tri$と変調波$d_u$、$d_v$、$d_w$の波形である。dq軸電流は司令値に追従しており、PMSMの電流制御を実現していることがわかる。uvw相電圧は階段状の波形であり、インバータのPWM制御によりPMSMを制御している。$i_d$、$i_q$のリプルはスイッチングに起因する。

まとめ

この記事では誰でも無料で使用可能なオープンソースのOpenModelica OMEditを用いた、永久磁石同期モータ（Permanent Magnet Synchronous Motor; PMSM）の電流制御シミュレーションを紹介した。OMEditを用いることで、GUI上で複数の機能ブロックを組み合わせるだけで、数学モデルシステム、力学、熱力学、電磁気、電気回路などの幅広い分野の複雑な動的システムのシミュレーション・モデル作成・最適化・解析を複合的に行うことが可能である。PMSMの電流制御では、ベクトル制御による電流フィードバックを実現して、理論の概要を説明した。OMEditでモデルを構成する上で注意が必要なブロックを紹介した後に、シミュレーション結果を示し、モデルの妥当性を確認した。

参考

• 2022 OpenModelica, 「OpenModelica」, openmodelica.org, https://openmodelica.org/ (Accessed Dec. 17, 2022)
• Adrian Pop, 「OpenModelica Build Server -Modelica Documentation-」, build.openmodelica.org, https://build.openmodelica.org/Documentation/  (Accessed Jan. 5, 2023)
• 一般社団法人オープンCAE学会, 「OpenModelica ユーザーズガイド和訳 リリース v1.14.1」, www.opencae.or.jp, https://www.opencae.or.jp/wp-content/uploads/2021/04/OpenModelicaUsersGuide.pdf
• Wikipedia, 「OpenModelica」, en.wikipedia.org, https://en.wikipedia.org/wiki/OpenModelica
• XSim, 「OpenModelica のインストールと実行」,www.xsim.info,  https://www.xsim.info/articles/OpenModelica/What-is-OpenModelica.html
• 公益社団法人日本電気技術者協会, 「 音声付き電気技術解説講座  電気応用」, jeea.or.jp, https://jeea.or.jp/course/04.html